AI摘要：他们都曾在国内接受基础数学教育，都是北京大学数学科学学院2007级的同学，实现了中国籍数学家在菲尔兹奖上的“零的突破”。邓煜大约六岁开始学棋2006年，邓煜获得国际数学奥林匹克竞赛金牌，次年保送北京大学数学科学学院。接受北京国际数学研究中心的访谈时，他表示自己对论文的要求比较高，相应数量也相对少一些：“一篇文章值得写出来的标准可能是，它必须包含一个能够真正说服自己的新东西。”
来源 视觉中国
菲尔兹奖的通知邮件抵达时，普林斯顿大学数学博士、芝加哥大学数学系教授邓煜正在看一本恋爱向小说。
关于获奖人选的传言此前已经流传了一阵，他说自己“有点紧张”，收到结果“算是舒了一口气”，就继续看小说了。
“数学界的诺贝尔奖”，四年一度的菲尔兹奖只授予颁奖当年1月1日未满40岁的数学家，既表彰已经完成的工作，也看重未来继续打开新领域的可能。
7月23日，37岁的邓煜与35岁的王虹成为首批斩获该奖项的中国籍数学家。他们都曾在国内接受基础数学教育，都是北京大学数学科学学院2007级的同学，实现了中国籍数学家在菲尔兹奖上的“零的突破”。
邓煜与王虹的个人主页
消息传来后，人们惊讶地发现，两人不仅求学经历相似，还都是二次元爱好者，分别顶着热门番剧《终将成为你》和《跃动青春》的头像。这让不少年轻人欢呼：找到我和菲尔兹奖得主的共同点了。
大家喜欢邓煜的“活人感”，自发传播他“只要你有一颗少女心，看什么都是少女漫”的格言录。他在诗社的简介是“好诗歌、故事、小说、解谜、漫画、围棋、足球，以及一切美丽的谜物”，知乎主页上写着“愿世界和平，愿龙怜（《天才麻将少女》中的一对角色）结婚”，会认真讨论PDE（偏微分方程），也发长文解析同人CP。
邓煜桌面上摆放的玩偶 / 图源：西蒙斯基金会
在他知乎的108条回答中，有一条是他快29岁时对21岁的回望。2010年，已从北大转入MIT的他，在一个学期内选了五六门数学课，同时读三本书，花一周读完85页的论文，验证每一个细节，寻找可能的错误；数学系休息室里有一张很舒服的长沙发，他晚上会睡在那里，清晨再趁四下无人把被子抱回宿舍。他也会在刷完人人网后猛然觉得，自己懂的数学太少。
邓煜回复知乎问题的答案
虽然邓煜的履历乍看是竞赛出身一路开挂的数学精英模板，但他也曾险些转身离开数学王国。好在，最终他总是为自己保留一点希望，“只要还有一个值得尝试的方向或一个想继续验证的念头，就比较容易维持前进的动力”。他在MIT的本科同学颜晓川记下了他的变化，十年前，邓煜认真估算过自己的知识占整个数学世界的比重，“答案是1/38250”。
“现在呢？”“我想我肯定懂得更多了。”邓煜说。
围棋少年的数学路
邓煜在深圳长大，小时候郊游、爬山，父亲会随口给他出题。六年级时，他和父亲一起寻找一个数列中的规律，两人花了几个小时才解出来。“最后，我们都非常高兴。”他后来在个人介绍视频中说，“这可能是我记得的、最早一次因为数学而感到兴奋的时刻。”
差不多同一时期占据他生活的，还有围棋。他大约六岁开始学棋，初一参加全国定段赛，离职业棋手只差一点。围棋和数学有相通之处，真正开始推导以前，首先要对问题本身形成认识，“都要观察局面、找到突破口、寻找最合适的一手”。但围棋是几个小时内必须完成的现场竞赛，数学研究则“更像长跑，你可以慢慢想，不必那么着急”。
邓煜大约六岁开始学棋
2006年，邓煜获得国际数学奥林匹克竞赛金牌，次年保送北京大学数学科学学院。在北大最初两年，他和同学一起刷题，周末去海淀图书城淘数学教材，努力啃下艰深的《拓扑空间论》，陈天权的数学分析课为他建立基础，大二以后，他跟随刘和平学习调和分析，尝试本科生科研，“虽然当时没有做出结果，但这段训练非常重要”。
2009年，邓煜转入麻省理工学院，在他的回忆里，那两年差不多是学生生涯中最“intense”的一段。赴美前，他读了陶哲轩关于非线性色散方程的著作，到了MIT后逐渐转向PDE。后来，刚学了一些PDE的他便主动去找教授交流；听过关于随机性与Gibbs测度的报告后，定下研究题目，暑假写成论文上传到arXiv。得知这项工作或许能投一家不错的期刊，他一有空就搜索期刊排名和影响因子，幻想有一天能在数学“四大刊”发表论文。
邓煜
那是一种贫穷、热忱又兴致勃勃的生活，他靠批改微积分作业挣到一点钱，因为下不起馆子，常常吃最便宜的日式照烧鸡肉饭，与朋友讨论Polya计数定理或其他天马行空的问题。他沿河散步，小路和草坪走过无数回，站在桥中央望见金色的晚霞和另一侧天空的铅灰色，想起“江上晴云杂雨云”的句子。
这种沿水行走的习惯延续了下来。从北大的未名湖、MIT旁的查尔斯河，到普林斯顿的运河，他喜欢把尚未解决的问题带到水边。人在自然中放松下来，他说，“也就更有可能产生一些真正好的想法。”
2011年，邓煜进入普林斯顿大学读博，师从Alexandru D. Ionescu。导师对证明细节近乎严苛，也对调和分析、流体方程、色散方程和广义相对论等不同领域保持广泛兴趣。这两种品位都留在了邓煜身上：既愿意进入技术最深处，也不甘心长久停留在一个狭窄方向。
2015年博士毕业后，邓煜进入纽约大学柯朗研究所从事博士后研究。他在一家中餐馆看见墙上写着杜甫的诗：“或看翡翠兰苕上，未掣鲸鱼碧海中。”前者是精巧清丽的小景，后者指向雄浑宏大的境界。邓煜忍不住反复读了几遍，忽然觉得“这两句就是在说我”，因而有些惭愧：自己或许已经能做出技术性强、细节精致的成果，却还没有真正触及足够重大的问题。
邓煜在知乎上回答的问题
真正明显的焦虑发生在博士后的最后一两年。
“大概在2017年、2018年，我在几个方向之间来来回回，一时做不出让自己满意的结果。”他对一项工作的思想和技术本身比较满意，但审稿人指出结论仍有一定局限性；其他方向做的一些工作虽然思路不错，最终结果却没有达到最初希望的强度。
因此前发表的论文较为小众，求职也不断受挫，“相当长时间拿不到任何offer”。一些金融机构向他抛出邀约，薪资是科研收入的数倍，他一度认真考虑转去华尔街。
当时的邓煜无法确定，自己是否还能做出比过去更好的数学。他曾到海边思考两天，最后决定“再坚持坚持”。“因为太爱数学，我觉得还没到对自己绝望的地步，那我可以再试一试。”最终，南加州大学给了他数学系助理教授的教职。
邓煜想要做出比过去更好的数学
转机也发生在2018年。刚到南加州大学不久，邓煜去芝加哥参加会议。会上，Zaher Hani的一位合作者正在报告波湍流研究。时任密歇根大学副教授的Hani知道邓煜做过随机性相关工作，便来询问他对波动动理学方程推导问题的看法。当时的邓煜已经数年没有研究相关方向了，是这次交谈让他重新启动对相关问题的思考。几乎同时，岳海天（现为上海科技大学副教授）来到南加州大学做博士后，问他是否愿意重返Gibbs测度问题。两条研究线就这样一同启动。
邓煜后来将它称为自己科研生涯中“最重要的转折”。“现在回头看，我此后这些年的许多工作，都可以追溯到当时几次看似平常的交流。”当时他无法预见，它们最终会进展到什么程度。
“洞天石扉，訇然中开”
“当你注视波浪时，会发现它的运动在形式上看起来很简单，但背后其实藏着非常复杂的东西。”邓煜在个人介绍视频中说，“问题是，这些简单的运动，究竟怎样从复杂的相互作用中产生？”
国际数学联盟列出的三组获奖成果是：在稀薄气体的低密度极限下，从确定性的硬球动力学严格推导玻尔兹曼方程；从非线性色散系统中推导波动动理学方程；以及发展研究非线性薛定谔动力学的概率方法。这三组工作共同关心一个问题：复杂的非线性动力系统，怎样产生可以描述的统计行为与长期规律。
其中最受关注的，是他与Zaher Hani、马骁围绕希尔伯特第六问题完成的工作。邓煜用一间房间里的空气解释它：每个分子都按照牛顿力学运动、碰撞，如果只看一个粒子，过程并不复杂；但现实中的空气分子数量极其庞大，人们不可能逐一追踪，只能在概率意义上描述：某一时刻，有多少粒子出现在某个位置，并具有某种速度。玻尔兹曼方程描述的，正是这种单粒子分布怎样随时间变化；密度、平均速度和温度等宏观量，则可以进一步从这个分布中得到。“说到底，就是把从微观粒子系统到宏观流体的描述这条路走通了。”
1900年，希尔伯特提出第六问题，希望用严密的数学体系为物理学建立基础。其中一条具体路线，正是从粒子的牛顿运动出发，推出气体的统计规律，再推出宏观流体方程。物理学家早已相信这条路径成立，但“物理上非常合理”与“数学上已经证明”并不是同一件事。
邓煜讲解希尔伯特第六问题：粒子与波
合作者马骁把大量粒子比作一个由无数人组成的国家：随机抽出两个人，他们互相认识的概率很小；足够稀薄的气体中，几个粒子也应近似独立。但粒子每碰撞一次，就会产生新的联系。一个粒子撞上第二个，第二个又撞上第三个，相关性便像一棵疯狂分叉的大树迅速生长。时间越长，这份“碰撞家谱”越难控制。
1975年，数学家Oscar Lanford第一次严格证明，稀薄硬球系统可以推出玻尔兹曼方程，但结论只能维持极短的时间。用马骁的比喻说，他证明了人群刚开始移动的一小会儿，彼此还来不及建立复杂关系；再过一段时间，原有方法便无法控制。
邓煜、Hani与马骁首先突破的，正是这个长期未能跨越的短时间限制。更准确地说，只要相应的玻尔兹曼方程在给定时间内仍然保持良好的解，他们便能证明，硬球粒子系统在这整个时间区间内都趋近玻尔兹曼方程。在后续工作中，他们又将这条道路继续向前延伸，从微观硬球系统出发，经玻尔兹曼方程，严格推出宏观流体方程。
这并不意味着希尔伯特关于“物理学公理化”的全部愿景已经完成。邓煜校正：“不能说我完全解决了这个问题。因为它是包含一些假设、包含一些特殊情况的。”更准确的说法，是他们在明确的气体模型和尺度极限下，解决了通常所谓“狭义希尔伯特第六问题”的核心情形。
Zaher Hani讲述希尔伯特第六问题及其在非线性波中的应用 / 图源：南加州大学CAMS研讨会
“难的不是突然想出一个巧妙的trick，而是要在一个极其复杂的组合展开中，找到那些能够抵消掉的坏项，同时保留好的项。展开这种推演经常长达几十页，每一步都必须精准无误。”邓煜说，他们把长时间切成多段短时间层，把碰撞历史画成巨大的图，再用切割算法，将任何复杂图拆回可以估计的基本结构。
这套框架最初并非为粒子而生。2018年底，Hani向正在研究随机初值方程的邓煜提出波湍流问题。粒子彼此碰撞，波包也会相互作用；玻尔兹曼方程描述粒子的统计规律，波动动理学方程则描述大量波之间的能量交换。邓煜发现，自己此前发展的一套组合工具恰好可以用于波系统。
两人先解决“次临界”情形。后来Hani坚持挑战更困难的临界问题，邓煜最初并不情愿，真正尝试后却发现：“那真叫‘洞天石扉，訇然中开’，我们竟然发现了一整套新的组合结构和工具！”2021年4月，他们完成了临界尺度上的短时间推导。
波系统中还出现了一种玻尔兹曼问题里没有的结构：一些图单独看会产生严重发散，仿佛证明必然失败；但把它们与另外一些看起来毫不相关的图组合起来，坏的部分却会“奇迹般地抵消掉”，而且这种抵消对任意高阶都成立。他们曾与多位物理学家讨论，也没有得到满意解释。邓煜在PPT上写下：“奇迹和魔法都是存在的（Miracles and magic are real）！”
邓煜在PPT上写下：“奇迹和魔法都是存在的（Miracles and magic are real）！” / 图源：@Yu Deng
2021年秋天，他在布朗大学访问。有一天吃韩式炸鸡时，他忽然想计算，如果把已经证明的短时间结果从一个时间段推进到下一个时间段，会发生什么。由此，他逐渐看见了一套将长时间拆分为短时间、再逐层传播统计规律的递归框架。
波系统的框架成熟后，他们反向想：既然人们一直用粒子类比波，为什么不能把波的工具带回粒子世界？2022年底，既熟悉这套框架、又接受过动理学训练的马骁加入。大的框架可以迁移，具体方法却不能照搬。粒子系统没有波系统中那种“奇迹般的抵消”，长时间碰撞产生的组合结构反而更加复杂。三人必须重新设计算法。2024年8月，他们完成了全部证明。
“我大部分的数学研究都是和别人合作。”邓煜说，“有些最初不成立的关键思路，就是在讨论中逐渐完善的。”一个方向中的积累，在另一个问题里获得新的意义；菲尔兹奖所表彰的，不只是已经接通的一条道路，也是一项仍在继续生长的研究计划。
做自己真正喜欢的事
邓煜衡量一项工作，首先不是看它能否发表在顶级期刊，或是否足以带来某种奖项。接受北京国际数学研究中心的访谈时，他表示自己对论文的要求比较高，相应数量也相对少一些：“一篇文章值得写出来的标准可能是，它必须包含一个能够真正说服自己的新东西。”
“新东西”未必意味着解决重大问题，也可能只是抓住一个关键点、突破一种已有方法，或将原本分离的领域结合起来。“只要这种创新是实质性的，而且我能够确认它的重要性，就值得把文章写出来。”
这种判断并不意味着他天然拥有稳定的自信。MIT本科期间，邓煜写出一篇后来发表于《Analysis and PDE》的论文，他当时对自己的工作还比较满意。后来他看到一则新闻，一名普林斯顿本科生在《数学年刊》发表了一篇只有6页的论文，第一反应是：“自己的确比不上人家。”
但这种落差没有阻止他继续工作。“在任何阶段，身边出现比自己更厉害的人都是大概率事件。”他后来对学生说，不要因为别人走得更快便立刻否定自己，“反超别人本身也不应当成为目标”，更重要的是把注意力放回自己的成长，完成自己认可的事情。
邓煜认为人更重要的是把注意力放回自己的成长
经历博士后时期的辗转后，他也逐渐形成了对焦虑的区分：“一种是对自己做的东西没信心，一种只是暂时还没得到大家认可。”前一种需要重新判断问题，后一种则要求研究者在外部回应缺席时，仍保留自己的判断。对邓煜而言，更多时候是后者，“因为我做的是自己喜欢的东西，大多数时候还是相信它是好工作”。
数学之外，邓煜喜欢的东西还有许多。如果没有成为数学家，他想过自己或许会写科幻小说——先设定一个虚构的前提，再对它作严密的逻辑推演。他目前有20多首诗作，题材相当广泛。MIT毕业时，他写下“何处更寻萌软妹，几回独对紧流形（微分几何中的专业概念）”；他是张靓颖近20年的歌迷，演唱会身未能至，于网络观其盛况，于是写下“天涯同梦此佳期。别去经年消息迟”；为西园寺世界（动画《School Days》中陷入三角关系的少女）所作七律，则以“彼岸还应有明月，与君长照泪痕干”收尾。
邓煜写的诗 / 图源：内社
他在某知识问答社区认真讨论过人为什么会喜欢一对虚构角色。在邓煜看来，角色之间的互动会显露单独出现时无法看见的细微性格，因此“萌CP”也是在加深对每一个角色的理解，从而更加确信对ta们的喜爱。最后，他熟练地用数学作比：“CP之于角色正如映射之于集合，态射之于对象，类似性之于理论。”
在这样奔逸的思维里，数学甚至会进入他的梦。他在个人介绍视频中说，有时会梦见现实中从未研究过的问题，梦见自己正在为它们写“完全正经的数学论文”；醒来后，那些论文一篇也不存在。思考早已不只发生在办公室里，而成为生活的一部分。
邓煜在个人介绍视频里说，有时会梦见现实中从未研究过的问题 / 图源：西蒙斯基金会
而面对来势汹汹的AI技术革新，邓煜也并不排斥AI进入自己的生活。他会让AI证明一些自己基本确定为真的简单结论，再亲自检查，对于有一定难度的引理，也会询问AI是否有思路。
在某一次研究中，邓煜连续几天没有解决一个主要命题的特殊情形，“GPT给出了一个非常简单的证明，很快处理了那个特例。后来我们发现这种证明无法推广，因此没有把它写入最终文章，但它至少提供了一个有价值的思路。这说明AI即使不能直接完成最终证明，也可能帮助研究者迅速探索局部路线。”
未来，他期待人可以负责总体框架、核心想法和问题的提出，AI协助完成一部分具体、技术性的推导，填充框架，并给出可供检验的方案。但他提醒对刚进入科研的学生而言，使用时仍要保持判断力，“不能因为AI给出了一段看似完整的论证，就跳过独立判断和严格核验这些必要的步骤”。
邓煜钟爱解谜，“人类已经探索了几千年，宇宙中仍然存在大量谜团，在最基础的层面上，我们对物理宇宙的理解仍然极为有限”。他持续钻研的动力，源于“当一个设想完美运转、眼前的问题终于被解开时，那种快乐”。
菲尔兹奖公布后，邓煜表示自己很荣幸能与仰慕已久的数学家并列 / 图源：新华社
菲尔兹奖公布后，他说自己很荣幸能与仰慕已久的数学家并列，但“不能为了拿奖去做研究”，“有些工作没得奖，也未必不重要，还是要专注自己喜欢的方向，挑战大问题”。面对随之而来的期待，他的心境仍然简单：“我只是一个数学家，我的工作就是尽量做好数学，做到这一点就足够了。”
作者 | 笛苇
编辑 | 吴擎
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来源 视觉中国
菲尔兹奖的通知邮件抵达时，普林斯顿大学数学博士、芝加哥大学数学系教授邓煜正在看一本恋爱向小说。
关于获奖人选的传言此前已经流传了一阵，他说自己“有点紧张”，收到结果“算是舒了一口气”，就继续看小说了。
“数学界的诺贝尔奖”，四年一度的菲尔兹奖只授予颁奖当年1月1日未满40岁的数学家，既表彰已经完成的工作，也看重未来继续打开新领域的可能。
7月23日，37岁的邓煜与35岁的王虹成为首批斩获该奖项的中国籍数学家。他们都曾在国内接受基础数学教育，都是北京大学数学科学学院2007级的同学，实现了中国籍数学家在菲尔兹奖上的“零的突破”。
邓煜与王虹的个人主页
消息传来后，人们惊讶地发现，两人不仅求学经历相似，还都是二次元爱好者，分别顶着热门番剧《终将成为你》和《跃动青春》的头像。这让不少年轻人欢呼：找到我和菲尔兹奖得主的共同点了。
大家喜欢邓煜的“活人感”，自发传播他“只要你有一颗少女心，看什么都是少女漫”的格言录。他在诗社的简介是“好诗歌、故事、小说、解谜、漫画、围棋、足球，以及一切美丽的谜物”，知乎主页上写着“愿世界和平，愿龙怜（《天才麻将少女》中的一对角色）结婚”，会认真讨论PDE（偏微分方程），也发长文解析同人CP。
邓煜桌面上摆放的玩偶 / 图源：西蒙斯基金会
在他知乎的108条回答中，有一条是他快29岁时对21岁的回望。2010年，已从北大转入MIT的他，在一个学期内选了五六门数学课，同时读三本书，花一周读完85页的论文，验证每一个细节，寻找可能的错误；数学系休息室里有一张很舒服的长沙发，他晚上会睡在那里，清晨再趁四下无人把被子抱回宿舍。他也会在刷完人人网后猛然觉得，自己懂的数学太少。
邓煜回复知乎问题的答案
虽然邓煜的履历乍看是竞赛出身一路开挂的数学精英模板，但他也曾险些转身离开数学王国。好在，最终他总是为自己保留一点希望，“只要还有一个值得尝试的方向或一个想继续验证的念头，就比较容易维持前进的动力”。他在MIT的本科同学颜晓川记下了他的变化，十年前，邓煜认真估算过自己的知识占整个数学世界的比重，“答案是1/38250”。
“现在呢？”“我想我肯定懂得更多了。”邓煜说。
围棋少年的数学路
邓煜在深圳长大，小时候郊游、爬山，父亲会随口给他出题。六年级时，他和父亲一起寻找一个数列中的规律，两人花了几个小时才解出来。“最后，我们都非常高兴。”他后来在个人介绍视频中说，“这可能是我记得的、最早一次因为数学而感到兴奋的时刻。”
差不多同一时期占据他生活的，还有围棋。他大约六岁开始学棋，初一参加全国定段赛，离职业棋手只差一点。围棋和数学有相通之处，真正开始推导以前，首先要对问题本身形成认识，“都要观察局面、找到突破口、寻找最合适的一手”。但围棋是几个小时内必须完成的现场竞赛，数学研究则“更像长跑，你可以慢慢想，不必那么着急”。
邓煜大约六岁开始学棋
2006年，邓煜获得国际数学奥林匹克竞赛金牌，次年保送北京大学数学科学学院。在北大最初两年，他和同学一起刷题，周末去海淀图书城淘数学教材，努力啃下艰深的《拓扑空间论》，陈天权的数学分析课为他建立基础，大二以后，他跟随刘和平学习调和分析，尝试本科生科研，“虽然当时没有做出结果，但这段训练非常重要”。
2009年，邓煜转入麻省理工学院，在他的回忆里，那两年差不多是学生生涯中最“intense”的一段。赴美前，他读了陶哲轩关于非线性色散方程的著作，到了MIT后逐渐转向PDE。后来，刚学了一些PDE的他便主动去找教授交流；听过关于随机性与Gibbs测度的报告后，定下研究题目，暑假写成论文上传到arXiv。得知这项工作或许能投一家不错的期刊，他一有空就搜索期刊排名和影响因子，幻想有一天能在数学“四大刊”发表论文。
邓煜
那是一种贫穷、热忱又兴致勃勃的生活，他靠批改微积分作业挣到一点钱，因为下不起馆子，常常吃最便宜的日式照烧鸡肉饭，与朋友讨论Polya计数定理或其他天马行空的问题。他沿河散步，小路和草坪走过无数回，站在桥中央望见金色的晚霞和另一侧天空的铅灰色，想起“江上晴云杂雨云”的句子。
这种沿水行走的习惯延续了下来。从北大的未名湖、MIT旁的查尔斯河，到普林斯顿的运河，他喜欢把尚未解决的问题带到水边。人在自然中放松下来，他说，“也就更有可能产生一些真正好的想法。”
2011年，邓煜进入普林斯顿大学读博，师从Alexandru D. Ionescu。导师对证明细节近乎严苛，也对调和分析、流体方程、色散方程和广义相对论等不同领域保持广泛兴趣。这两种品位都留在了邓煜身上：既愿意进入技术最深处，也不甘心长久停留在一个狭窄方向。
2015年博士毕业后，邓煜进入纽约大学柯朗研究所从事博士后研究。他在一家中餐馆看见墙上写着杜甫的诗：“或看翡翠兰苕上，未掣鲸鱼碧海中。”前者是精巧清丽的小景，后者指向雄浑宏大的境界。邓煜忍不住反复读了几遍，忽然觉得“这两句就是在说我”，因而有些惭愧：自己或许已经能做出技术性强、细节精致的成果，却还没有真正触及足够重大的问题。
邓煜在知乎上回答的问题
真正明显的焦虑发生在博士后的最后一两年。
“大概在2017年、2018年，我在几个方向之间来来回回，一时做不出让自己满意的结果。”他对一项工作的思想和技术本身比较满意，但审稿人指出结论仍有一定局限性；其他方向做的一些工作虽然思路不错，最终结果却没有达到最初希望的强度。
因此前发表的论文较为小众，求职也不断受挫，“相当长时间拿不到任何offer”。一些金融机构向他抛出邀约，薪资是科研收入的数倍，他一度认真考虑转去华尔街。
当时的邓煜无法确定，自己是否还能做出比过去更好的数学。他曾到海边思考两天，最后决定“再坚持坚持”。“因为太爱数学，我觉得还没到对自己绝望的地步，那我可以再试一试。”最终，南加州大学给了他数学系助理教授的教职。
邓煜想要做出比过去更好的数学
转机也发生在2018年。刚到南加州大学不久，邓煜去芝加哥参加会议。会上，Zaher Hani的一位合作者正在报告波湍流研究。时任密歇根大学副教授的Hani知道邓煜做过随机性相关工作，便来询问他对波动动理学方程推导问题的看法。当时的邓煜已经数年没有研究相关方向了，是这次交谈让他重新启动对相关问题的思考。几乎同时，岳海天（现为上海科技大学副教授）来到南加州大学做博士后，问他是否愿意重返Gibbs测度问题。两条研究线就这样一同启动。
邓煜后来将它称为自己科研生涯中“最重要的转折”。“现在回头看，我此后这些年的许多工作，都可以追溯到当时几次看似平常的交流。”当时他无法预见，它们最终会进展到什么程度。
“洞天石扉，訇然中开”
“当你注视波浪时，会发现它的运动在形式上看起来很简单，但背后其实藏着非常复杂的东西。”邓煜在个人介绍视频中说，“问题是，这些简单的运动，究竟怎样从复杂的相互作用中产生？”
国际数学联盟列出的三组获奖成果是：在稀薄气体的低密度极限下，从确定性的硬球动力学严格推导玻尔兹曼方程；从非线性色散系统中推导波动动理学方程；以及发展研究非线性薛定谔动力学的概率方法。这三组工作共同关心一个问题：复杂的非线性动力系统，怎样产生可以描述的统计行为与长期规律。
其中最受关注的，是他与Zaher Hani、马骁围绕希尔伯特第六问题完成的工作。邓煜用一间房间里的空气解释它：每个分子都按照牛顿力学运动、碰撞，如果只看一个粒子，过程并不复杂；但现实中的空气分子数量极其庞大，人们不可能逐一追踪，只能在概率意义上描述：某一时刻，有多少粒子出现在某个位置，并具有某种速度。玻尔兹曼方程描述的，正是这种单粒子分布怎样随时间变化；密度、平均速度和温度等宏观量，则可以进一步从这个分布中得到。“说到底，就是把从微观粒子系统到宏观流体的描述这条路走通了。”
1900年，希尔伯特提出第六问题，希望用严密的数学体系为物理学建立基础。其中一条具体路线，正是从粒子的牛顿运动出发，推出气体的统计规律，再推出宏观流体方程。物理学家早已相信这条路径成立，但“物理上非常合理”与“数学上已经证明”并不是同一件事。
邓煜讲解希尔伯特第六问题：粒子与波
合作者马骁把大量粒子比作一个由无数人组成的国家：随机抽出两个人，他们互相认识的概率很小；足够稀薄的气体中，几个粒子也应近似独立。但粒子每碰撞一次，就会产生新的联系。一个粒子撞上第二个，第二个又撞上第三个，相关性便像一棵疯狂分叉的大树迅速生长。时间越长，这份“碰撞家谱”越难控制。
1975年，数学家Oscar Lanford第一次严格证明，稀薄硬球系统可以推出玻尔兹曼方程，但结论只能维持极短的时间。用马骁的比喻说，他证明了人群刚开始移动的一小会儿，彼此还来不及建立复杂关系；再过一段时间，原有方法便无法控制。
邓煜、Hani与马骁首先突破的，正是这个长期未能跨越的短时间限制。更准确地说，只要相应的玻尔兹曼方程在给定时间内仍然保持良好的解，他们便能证明，硬球粒子系统在这整个时间区间内都趋近玻尔兹曼方程。在后续工作中，他们又将这条道路继续向前延伸，从微观硬球系统出发，经玻尔兹曼方程，严格推出宏观流体方程。
这并不意味着希尔伯特关于“物理学公理化”的全部愿景已经完成。邓煜校正：“不能说我完全解决了这个问题。因为它是包含一些假设、包含一些特殊情况的。”更准确的说法，是他们在明确的气体模型和尺度极限下，解决了通常所谓“狭义希尔伯特第六问题”的核心情形。
Zaher Hani讲述希尔伯特第六问题及其在非线性波中的应用 / 图源：南加州大学CAMS研讨会
“难的不是突然想出一个巧妙的trick，而是要在一个极其复杂的组合展开中，找到那些能够抵消掉的坏项，同时保留好的项。展开这种推演经常长达几十页，每一步都必须精准无误。”邓煜说，他们把长时间切成多段短时间层，把碰撞历史画成巨大的图，再用切割算法，将任何复杂图拆回可以估计的基本结构。
这套框架最初并非为粒子而生。2018年底，Hani向正在研究随机初值方程的邓煜提出波湍流问题。粒子彼此碰撞，波包也会相互作用；玻尔兹曼方程描述粒子的统计规律，波动动理学方程则描述大量波之间的能量交换。邓煜发现，自己此前发展的一套组合工具恰好可以用于波系统。
两人先解决“次临界”情形。后来Hani坚持挑战更困难的临界问题，邓煜最初并不情愿，真正尝试后却发现：“那真叫‘洞天石扉，訇然中开’，我们竟然发现了一整套新的组合结构和工具！”2021年4月，他们完成了临界尺度上的短时间推导。
波系统中还出现了一种玻尔兹曼问题里没有的结构：一些图单独看会产生严重发散，仿佛证明必然失败；但把它们与另外一些看起来毫不相关的图组合起来，坏的部分却会“奇迹般地抵消掉”，而且这种抵消对任意高阶都成立。他们曾与多位物理学家讨论，也没有得到满意解释。邓煜在PPT上写下：“奇迹和魔法都是存在的（Miracles and magic are real）！”
邓煜在PPT上写下：“奇迹和魔法都是存在的（Miracles and magic are real）！” / 图源：@Yu Deng
2021年秋天，他在布朗大学访问。有一天吃韩式炸鸡时，他忽然想计算，如果把已经证明的短时间结果从一个时间段推进到下一个时间段，会发生什么。由此，他逐渐看见了一套将长时间拆分为短时间、再逐层传播统计规律的递归框架。
波系统的框架成熟后，他们反向想：既然人们一直用粒子类比波，为什么不能把波的工具带回粒子世界？2022年底，既熟悉这套框架、又接受过动理学训练的马骁加入。大的框架可以迁移，具体方法却不能照搬。粒子系统没有波系统中那种“奇迹般的抵消”，长时间碰撞产生的组合结构反而更加复杂。三人必须重新设计算法。2024年8月，他们完成了全部证明。
“我大部分的数学研究都是和别人合作。”邓煜说，“有些最初不成立的关键思路，就是在讨论中逐渐完善的。”一个方向中的积累，在另一个问题里获得新的意义；菲尔兹奖所表彰的，不只是已经接通的一条道路，也是一项仍在继续生长的研究计划。
做自己真正喜欢的事
邓煜衡量一项工作，首先不是看它能否发表在顶级期刊，或是否足以带来某种奖项。接受北京国际数学研究中心的访谈时，他表示自己对论文的要求比较高，相应数量也相对少一些：“一篇文章值得写出来的标准可能是，它必须包含一个能够真正说服自己的新东西。”
“新东西”未必意味着解决重大问题，也可能只是抓住一个关键点、突破一种已有方法，或将原本分离的领域结合起来。“只要这种创新是实质性的，而且我能够确认它的重要性，就值得把文章写出来。”
这种判断并不意味着他天然拥有稳定的自信。MIT本科期间，邓煜写出一篇后来发表于《Analysis and PDE》的论文，他当时对自己的工作还比较满意。后来他看到一则新闻，一名普林斯顿本科生在《数学年刊》发表了一篇只有6页的论文，第一反应是：“自己的确比不上人家。”
但这种落差没有阻止他继续工作。“在任何阶段，身边出现比自己更厉害的人都是大概率事件。”他后来对学生说，不要因为别人走得更快便立刻否定自己，“反超别人本身也不应当成为目标”，更重要的是把注意力放回自己的成长，完成自己认可的事情。
邓煜认为人更重要的是把注意力放回自己的成长
经历博士后时期的辗转后，他也逐渐形成了对焦虑的区分：“一种是对自己做的东西没信心，一种只是暂时还没得到大家认可。”前一种需要重新判断问题，后一种则要求研究者在外部回应缺席时，仍保留自己的判断。对邓煜而言，更多时候是后者，“因为我做的是自己喜欢的东西，大多数时候还是相信它是好工作”。
数学之外，邓煜喜欢的东西还有许多。如果没有成为数学家，他想过自己或许会写科幻小说——先设定一个虚构的前提，再对它作严密的逻辑推演。他目前有20多首诗作，题材相当广泛。MIT毕业时，他写下“何处更寻萌软妹，几回独对紧流形（微分几何中的专业概念）”；他是张靓颖近20年的歌迷，演唱会身未能至，于网络观其盛况，于是写下“天涯同梦此佳期。别去经年消息迟”；为西园寺世界（动画《School Days》中陷入三角关系的少女）所作七律，则以“彼岸还应有明月，与君长照泪痕干”收尾。
邓煜写的诗 / 图源：内社
他在某知识问答社区认真讨论过人为什么会喜欢一对虚构角色。在邓煜看来，角色之间的互动会显露单独出现时无法看见的细微性格，因此“萌CP”也是在加深对每一个角色的理解，从而更加确信对ta们的喜爱。最后，他熟练地用数学作比：“CP之于角色正如映射之于集合，态射之于对象，类似性之于理论。”
在这样奔逸的思维里，数学甚至会进入他的梦。他在个人介绍视频中说，有时会梦见现实中从未研究过的问题，梦见自己正在为它们写“完全正经的数学论文”；醒来后，那些论文一篇也不存在。思考早已不只发生在办公室里，而成为生活的一部分。
邓煜在个人介绍视频里说，有时会梦见现实中从未研究过的问题 / 图源：西蒙斯基金会
而面对来势汹汹的AI技术革新，邓煜也并不排斥AI进入自己的生活。他会让AI证明一些自己基本确定为真的简单结论，再亲自检查，对于有一定难度的引理，也会询问AI是否有思路。
在某一次研究中，邓煜连续几天没有解决一个主要命题的特殊情形，“GPT给出了一个非常简单的证明，很快处理了那个特例。后来我们发现这种证明无法推广，因此没有把它写入最终文章，但它至少提供了一个有价值的思路。这说明AI即使不能直接完成最终证明，也可能帮助研究者迅速探索局部路线。”
未来，他期待人可以负责总体框架、核心想法和问题的提出，AI协助完成一部分具体、技术性的推导，填充框架，并给出可供检验的方案。但他提醒对刚进入科研的学生而言，使用时仍要保持判断力，“不能因为AI给出了一段看似完整的论证，就跳过独立判断和严格核验这些必要的步骤”。
邓煜钟爱解谜，“人类已经探索了几千年，宇宙中仍然存在大量谜团，在最基础的层面上，我们对物理宇宙的理解仍然极为有限”。他持续钻研的动力，源于“当一个设想完美运转、眼前的问题终于被解开时，那种快乐”。
菲尔兹奖公布后，邓煜表示自己很荣幸能与仰慕已久的数学家并列 / 图源：新华社
菲尔兹奖公布后，他说自己很荣幸能与仰慕已久的数学家并列，但“不能为了拿奖去做研究”，“有些工作没得奖，也未必不重要，还是要专注自己喜欢的方向，挑战大问题”。面对随之而来的期待，他的心境仍然简单：“我只是一个数学家，我的工作就是尽量做好数学，做到这一点就足够了。”
作者 | 笛苇
编辑 | 吴擎