先说结论：

物理和数学像亲兄弟；
化学像堂兄；
生物、地学更像“复杂系统的邻居家小孩”。

原因很简单：

主要不是因为题干中提到的“形式科学 vs 自然科学”，而是因为“底层结构是否允许被数学干净地描述”。

① 物理和数学的关系，不是“使用工具”而是“同一语言”

数学对物理不是“辅助工具”，

更像是“物理规律本身长成的样子”。

• 万有引力是微分方程 （ => ）
• 电磁是四个偏微分方程 参见：广义 Stokes' 定理 (2)：理解麦克斯韦方程组
• 量子力学是线性代数 参见：线性代数极简史
• 广义相对论是微分几何 +PDE （引力不是力，而是时空的弯曲，物体沿着弯曲时空中的测地线运动）
• 热力学是凸分析 + 变分原理 （自由能是凸函数，变分：最大熵 + 最小化自由能） 参见：从热力学熵到香农熵、交叉熵和 KL Divergence（1）：从热力学说起

你说你学了物理不用数学，

就像你说你会游泳但不下水。

彭罗斯提出“三个世界”，

柏拉图世界对应数学世界，

物理世界对应物质世界，（mental world 对应我们的大脑 / 意识，于本文关系不大）

物理学家看到世界，就像数学家看到公式。

彭罗斯《通往实在之路》里，你很难把物理与数学分开（数学可能起源于物理，但是可以独自发展）。打个小广告，欢迎关注《通往实在之路》读书笔记，一起追随彭罗斯感悟数学物理的宇宙之美，以及相关的 AI 随想。

《通向实在之路》读书笔记专题目录

② 化学和物理的关系像“近亲”，但开始出现涌现层级

化学理论底层来自物理（量子力学支撑化学键），

但它已经不再仅仅是（物理那样的）“方程式游戏”，而是：

• 多体系统求不动 （三体和以上就没有解析解了）
• 分子轨道理论是一连串近似的艺术，不是严格的物理推导，而是“经验规律 + 有效理论”
• 化学反应路径不可解析 （势能面太复杂，没有解析解，高维数值优化问题）
• 组合爆炸让精确建模完全不可能（一个含 20 个原子的分子，拓扑可能性超过 ）

化学能被数学描述，但描述不再优雅。

从“方程”变成了“近似 + 模型 + 假设”的世界。

化学根植于物理，但其规律并不是从物理方程中推导出来的，而是从不可解的多体问题、指数级组合爆炸和复杂拓扑结构中涌现出的新的有效规律。

非线性动力学与混沌学极简史

③ 生物、生态、地球科学：典型的复杂系统，不服从正态分布，而服从幂律分布

进入生命、生态、地球系统之后，你会发现，幂律分布才是主宰，而非高斯分布（例子基本都来源于书《规模》）：

• 树的分叉结构是标度律
• 生态系统是网络
• 地震频率是幂律
• 城市规模是幂律（甚至公司管理）
• 生物代谢是 3/4 次幂律
• 物种丰度是幂律

为什么？因为：

正态分布要求 i.i.d.（独立同分布）。
但生命系统里，没有什么东西是独立的。

那里是：

• 强耦合
• 强反馈
• 非线性
• 涨落
• 自组织
• 多尺度
• 涌现行为
  幂律分布可参考下文：

为什么收入分布是金字塔分布而不是正态分布？

你不给他们写方程，它自己都在写“网络、幂律、混沌”。

网络效应对应梅特卡夫定律，平方替代了线性

因此生物不像物理那样“干净”，

而是“脏而真实”。

物理像“硬规则的世界”，

生物像“游戏王决斗盘：效果太多无法全部写进手册”。

真正决定“谁像谁”的是：

• 能否用数学完全刻画 （是否简洁）
• 系统是否线性 / 可微 / 可积
• 是否存在普适守恒律
• 变量之间是否简单耦合
• 表现出的行为是否由少量方程支撑

从这个角度：

物理与数学在结构上天然相通。（彭罗斯《通往实在之路》）
化学与物理在内容上相连。 （化学只是一种“应用物理”偏段子，主要化学底层用到物理）
生物与复杂系统在行为上相似。（高斯分布基本搞不定，非线性动力学 / 复杂系统刻画）

最终：不是数学远离其他科学，而是其他科学变得太复杂

虽然说“所有自然科学最终都应该可以被数学描述。” （社会科学可能也能于自然科学通过最小作用量原理来进行某种程度的统一，但超出本问题的范围，参见下面的想法）

没错，但要加一句：

物理是被“优雅地”描述，
化学是“近似地”描述，
生物是“只能统计地”描述。

数学不是不想下楼和它们玩，

而是它们楼梯太乱。

gwave 的想法

小结

物理像数学，是因为物理世界本质上就是方程统治的世界；
而化生地之所以不像数学，是因为它们属于复杂系统，充满非线性、反馈、涌现和幂律，难以被单一数学框架完美描述。